（1）∵数g(x)＝
+lnx在[1，+∞)上为增函数，1 x?sinθ
∴g′(x)＝?
+1 sinθ?x2
≥0在[1，+∞）上恒成立，1 x
即
≥0，sinθ?x?1 sinθ?x2
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使sinθ?x-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需sinθ?1-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ＝
．π 2
（2）令F(x)＝f(x)?g(x)＝mx?
?2lnx，m+2e x
①当m≤0时，x∈[1，e]，mx?
≤0，?2lnx?m x
＜0，2e x
∴在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．
②当m＞0时，F‘(x)＝m+
?m+2e x2
=2 x
，mx2?2x+m+2e x2
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，
mx2+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，
F(x) max＝F(e)＝me?
?4，m e
只要me?
?4＞0，m e
解得m＞
．4e
e2?1
故m的取值范围是(
，+∞)．4e
e2?1
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