（2013?昌平区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B，C在x轴上，点A，E在y轴上，OB：OC=1：3，AE=7，

（1）依题意得：∠AOB=∠COE=90°，
∴

OA

OB

=tan∠ABO=2，

OE

OC

=tan∠OCE=3，
∴OA=2OB，OE=3OC．
∵OB：OC=1：3，
∴OC=3OB，
∴OE=9OB．
∵AE=7，
∴9OB-2OB=7，
∴OB=1，OC=3，OA=2，OE=9，
∴A（0，2），B（-1，0），C（3，0），E（0，9）．
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
∴2=-3a，即a=-

2

3

，
∴抛物线解析式为：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2；

（2）过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．
∴y_D=y_A=2，
∴D（2，2）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴

0＝?k+b 2＝2k+b

，
解得：

k＝ 2 3 b＝ 2 3

，
∴直线BD的解析式为y=

2

3

x+

2

3

；

（3）易知直线CE的解析式为y=-3x+9，Q（2，3）．
当直线PQ与坐标轴相交所成的锐角等于梯形ABCD的底角时，分两种情况：
①如图1，设直线PQ与y轴交于点F，∠QFE=∠ABC．过点Q作QM⊥y轴于点M，则∠QME=∠AOB=90°．
∵∠QFM=∠ABO，
∴tan∠QFM=tan∠ABO=2，
∴

QM

MF

=2，
∵Q（2，3），
∴MF=

1

2

QM=1，MO=3，
∴F（0，2）与A点重合，即P₁（0，2）．
经验证，P₁（0，2）在抛物线y=-

2

3

x²+

4

3

x+2上．
易求得，直线FQ的解析式为y=

1

2

x+2，
由

y＝ 1 2 x+2 y＝? 2 3 x2+ 4 3 x+2

，解得

x1＝0 y1＝2

，

x2＝ 5 4 y2＝ 21 8

，
∴点P₂的坐标为（

5

4

，

21

8

）；
②如图2，过点Q作AB的平行线PQ，交x轴于点G，∠QGC=∠ABC．
易求直线AB的解析式为y=2x+2，则直线GQ的解析式为y=2x-1．
由

y＝2x?1 y＝? 2 3 x2+ 4 3 x+2

，解得

x1＝ ?1+