58问答库 > 请问：已知a.b都是非零向量，且a+3b向量与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，则a与b的夹角的大小为多少？

请问：已知a.b都是非零向量，且a+3b向量与7a-5b垂直，向量a-4b与7a-2b垂直，则a与b的夹角的大小为多少？

2025-05-19 10:02:06

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回答（1）：

垂直所以有：
(a+5b)∙(7a-5b) = 0
即7a^2+16a∙b -15b^2 = 0
(a-4b)∙(7a-b) = 0
即 7a^2-30a∙b +8b^2 = 0

由这两个等式解出2ab = a^2 = b^2
所以cos = (|b|/|a|) /2 = 1/2 所以 = π/3

回答（2）：

先用a+3b*7a-5b=0 a-4b*7a-2b=0
可得7a2-15b2+16ab=0
7a2+8b2-30ab=0
相减得b向量的模的平方等于二倍的a向量乘以b向量
将上式代回原式得a向量的模的平方等于二倍的a向量乘以b向量
由此可求出ab向量夹角为120度

回答（3）：

a+3b向量与7a-5b垂直
则（a+3b)*(7a-5b)=0
7a^2+16ab-15b^2=0, ab=(15b^2-7a^2)/16
同理可得ab=(7a^2+8b^2)/30
两式联立得|b|=|a|
代人得7|a|^2+16|a|^2cosθ-15|a|^2=0
cosθ=1/2 ,θ=π/3

回答（4）：

很难