数列{an}中，a1=1，a2=2，数列{anan+1}是公比为q（q＞0）的等比数列．（Ⅰ）求使anan+1+an+1an+2＞an+2an

2025-05-12 21:17:29

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回答（1）：

（Ⅰ）∵数列{a_n?a_n+1}是公比为q的等比数列，
由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得
anan+1+anan+1q ＞anan+1q ?1+q ＞q2，
即q²-q-1＜0（q＞0）
解得0＜q＜

．…4分
（Ⅱ）由数列{a_n?a_n+1}是公比为q的等比数列，
得

an+1an+2

anan+1

＝q?

an+2

＝q²，
这表明数列{a_n}的所有奇数项成等比数列，
所有偶数项成等比数列，且公比都是q²，…8分
又a₁=1，a₂=2，
∴当q≠1时，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=

a1(1?qn)

1?q

a2(1?qn)

1?q

＝

3(1?qn)

1?q

…10分
当q=1时，

S2n＝a1+a2+a3+a4+…+a2n?1+a2n

(a1+a3+…+a2n?1)+(a2+a4+a6+…+a2n)

=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…12分．