58问答库 > 已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a 1 =1，tS n -（2t+1）S n-1 =t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2．（Ⅰ

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足a 1 =1，tS n -（2t+1）S n-1 =t，其中t＞0，n∈N﹡，n≥2．（Ⅰ

2025-05-16 23:49:20

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回答（1）：

（Ⅰ）当n≥2时，tS_n -（2t+1）S_n-1 =t ①
tS_n+1 -（2t+1）S_n =t ②
②-①得：ta_n+1 -（2t+1）a_n =0，
∵ t＞0∴ a n+1 =

2t+1

a n ，
又当n=2时，由a₁ =1，t（a₂ +a₁ ）-（2t+1）a₁ =t，得a₂ =

2t+1

由于a_n ≠0，

2t+1

≠0 ，所以对n∈N^* 总有

a n+1

a n

2t+1

，
即数列{a_n }是首项为1，公比为

2t+1

的等比数列．（8分）
（Ⅱ）由（1）知f（t）=

2t+1

，则b_n =f（

b n-1

）=2+b_n-1 ，
又b₁ =1，所以数列{b_n }是以1为首项，2为公差的等差数列．
故 b n =2n-1，n∈ N * （12分）
（Ⅲ）由Ⅱ知，T_n = n+

n(n-1)

×2= n 2 ．
若t=1，则等比数列{a_n }是首项为1，公比为3，所以 a n = 3 n-1 ，
则 T n - a n = n 2 - 3 n-1 ，
当n=1时， T n - a n = n 2 - 3 n-1 =1-1=0 ，此时T_n =a_n ．
当n=2时， T n - a n = n 2 - 3 n-1 = 2 2 -3=1＞0 ，此时T_n ＞a_n ．
当n=3时， T n - a n = n 2 - 3 n-1 = 3 2 - 3 2 =0 ，此时T_n =a_n ．
当n=4时， T n - a n = n 2 - 3 n-1 = 4 2 - 3 3 =-11＜0 ，此时T_n ＜a_n ．
当n＞4时， T n - a n = n 2 - 3 n-1 ＜0 ，此时恒有T_n ＜a_n ．
综上当n=1或3时，T_n =a_n ，当n=2时，T_n ＞a_n ，当n≥4时，T_n ＜a_n ．