已知圆心为C的圆经过点A（-3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y=x+1上．（1）求圆C的标准方程．（2

2025-05-20 19:10:12

推荐回答（1个）

回答（1）：

（1）设圆C的标准方程为：（x-a）² +（y-b）² =r² ，
由题意列方程组，

(-3-a) 2 + b 2 = r 2

(1-a) 2 + b 2 = r 2

b=a+1

，解得，a=-1，b=0，r=2
∴所求圆的方程为：（x+1）² +y² =4
（2）设N（x₁ ，y₁ ），G（x，y），
∵线段MN的中点是G，
∴由中点公式得

x 1 +3

y 1 +4

x 1 =2x-3

y 1 =2y-4

∵N在圆C上，∴（2x-2）² +（2y-4）² =4，
即（x-1）² +（y-2）² =1，
∴点G的轨迹方程是（x-1）² +（y-2）² =1．
（3）设存在这样的直线l，并设直线方程为：y=x+b
由

(x+1 ) 2 + y 2 =4

y=x+b

?2 x 2 +(2b+2)x+ b 2 -3=0? x 1 x 2 =

b 2 -3

①
且 △=4(b+1 ) 2 -8( b 2 -3)＞0?1-

＜b＜1+

同理可得： y 1 y 2 =

(b-1) 2 -4

②；
∵以PQ为直径的圆过原点O，
∴OP⊥OQ，即x₁ x₂ +y₁ y₂ =0，把①②代入化简得，b² -b-3=0
解得， b=

1±

；
∴经检验存在两条这样的直线l： y=x+

1±