证明题。√(a^2+1⼀a^2)-√2≥a+1⼀a-2

不等式左边=[a+1/a-√(a^2+1/a^2)]*[[a+1/a+√(a^2+1/a^2)]]/[a+1/a+√(a^2+1/a^2)]
=[(a+1/a)^2-(a^2+1/a^2)]/[a+1/a+√(a^2+1/a^2)]
=2/[a+1/a+√(a^2+1/a^2)]
而显然a+1/a>=2,a^2+1/a^2>=2
所以上式<=2/(2+√2)=2-√2
当且仅当a=1时等号成立

令x=a+1/a
则x²=a²+1/a²+2
所以即证明√(x²-2)-√2>=x-2
即证明√(x²-2)+2>=x+√2
即证明[√(x²-2)+2]²>=(x+√2)²
即证明(x²-2)+4√(x²-2)+4>=x²+2√2x+2
即证明4√(x²-2)>=2√2x
即证明2√(x²-2)>=√2x
即证明[2√(x²-2)]²>=(√2x)²
即证明4x²-8>=2x²
即证明x²>=4

因为a>0
所以x=a+1/a>=2√(a*1/a)=2
所以x²>=4成立
倒推回去
有√(a²+1/a²)-√2>=(a+1/a)-2

设y=（a+1/a）,y>=2
则原不等式等价于y-√(y^2-2)<=2-√2
y-√(y^2-2)
=2/(y+√(y^2-2))
<=2/(2-√(2^2-2))
=2-√2
证毕。