58问答库 > 直线ax+by=1与圆x^2+y^2=1⼀4交于两个不同点A,B，且AB<√2⼀2,求a^2+b^2+2a的取值范围

直线ax+by=1与圆x^2+y^2=1⼀4交于两个不同点A,B，且AB<√2⼀2,求a^2+b^2+2a的取值范围

2025-05-19 16:03:32

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回答（1）：

x²+y²=1/4是圆心在原点（0，0），半径为1/2的圆
直线ax+by=1写成标准形式为ax+by-1=0
根据点线距离公式，原点到直线的距离d=|0+0-1|/√(a²+b²) = 1/√(a²+b²)
直线与圆交于不同点A、B，则原点到直线的距离d必须小于半径1/2
又：弦长AB＜√2/2，则原点到直线的距离d必须大于√{(1/2)²-(√2/4)²} = √2/4
∴√2/4＜1/√(a²+b²)＜1/2
1/8＜1/(a²+b²)＜1/4

4＜a²+b²＜8

回答（2）：

AB<√2/2,说明小于1/4个弦长，也就是说直线到圆心的距离l介于√2/4~1/2
l=1/(√(a^2+b^2))
那么8>a^2+b^2>4
-2√24-2√2