函数f(x)=xcosx在(一∞，十∞)上有界

解：f(x）=xcosx。

是u=x和v=cosx的积函数。

f=uv。

定义域为u和v的定义域的交集。

u=x的定义域为R,v=cosx的定义域为R

R交R=R。

R关于原点对称，

在R中任取一点x.

f(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-f(x)

f(-x)+f(x)=0对于x:R上恒成立。

所以f(x)是奇函数。

图像关于原点（0，0）中心对称，

先画出在半区间[0,+无穷）上的图像，然后再把图像关于（0,0）顺时针旋转180度，即得对城区间（-无穷，0]上的图像，两个区间的交集为{0},二者有公共部分，公共部分就为x=0这个点，然后并集（-无穷，0]u[0,+无穷）=（-无穷，0）u{0}u[0,+无穷）=（-无穷，0）u[0,+无穷）u{0}=Ru{0}=R。

所以在R上的图像就全部画了出来。

f(x)=xcosx。

/f(x)/=/xcosx/=/x//cosx/,

对于x:R,cosx属于[-1,1]

x:[0,+无穷）真包含于R,是R的子区间，在R上成立，在[0,+无穷）上一定成立

则cosx:[-1,1]

0<=/cosx/<=1

0<=/cosx/<=1.

1. 当/cosx/=0时，cosx=0,x=kpai,k：Z。x为终边在x轴上的轴向角，

则f（x)=x*0=0。

当x=kpai,k:Z,

x>0

kpai>0

k>0,k:Z

k:Z+

k=1,2,3.......

x=pai,2pai,3pai,.........kpai,.....(k:Z+)

在这些点上f(x)=0。

2.当/cosx/=0时，即把/cosx/=0从[0,1]中去除掉，即0

x>=0

当x=0时，f(x)=0。

当x>0时，/x/=x>0。

0

/x/>0

则不等式两边统称以/x/,不等号保持不变。

0

0

0

-x<=f(x)<0or0

画出y=-x和y=x的图像在[0,+无穷）上的图像，为通过原点的两条关于x轴对称的射线。

因为{0}u[-x,0)u(0,x)=[-x,0]u(0,x]=[-x,x],x>=0。

f(x)在-x和x之间，不会超过这两个值

那么f(x)的图像一定在y=-x和y=x的图像之间，不会超出，最多和这两条射线相切，

是正当的曲线。

然后会通过（0,0),(pai,0）.......(kpai,0),k:Z+

即与x轴的交点。

然后在[0,pai]上是在x轴上方，在（pai,2pai]在x轴的下方，交替出现，

然后在[(k-1)pai,kpai]内的绝对值最值随着k的增大而增大，

即震荡的幅度逐渐增大，k-无穷，则正负-无穷大。

同理，在（-无穷，0]上的图像关于（0,0)对称，也在y=-x和y=x之间争当。

在R这个无穷区间上无限地正当下去，这个图像在[0,+无穷）随着x的增大，则震荡越来越剧烈，

k增大，则在区间[（k-1)π，kpai)内,k:Z+,f(x)的最值得绝对值随k的增大而增大，设在这之间的/f(x)/的最值=f(x0),x0属于[（k-1)π，kpai)内,k:Z+，随着x的增大，然后/f(x)/max增大，因为x-+无穷，则/f(x)/max-+无穷，因为/f(x)/max在（0，+无穷）上是单调递增的，所以x-无穷大，/f(x)/max-无穷大，f(x)>0时，f(x)max-无穷大，f(x)max不存在，当f(x)<0时，（-f(x))max-无穷大，f(x)min-无穷小，即极小值-无穷小，无穷小时不存在，所以f(x)的最小值不存在，f(x)既没有最大值，也没有最小值，f(x)是无界函数

根据对称性，在（-无穷，0]上f(x)也是无界函数

综上f(x)在（-无穷，+无穷）上是无界函数。