已知函数f（x）=ln（x+a）-x的最大值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意x∈[0，+∞），有f（x）

（1）f（x）定义域为（-a，+∞），
f′（x）=

1

x+a

-1=

1?x?a

x+a

，由f′（x）=0，得x=1-a＞-a．…（1分）
当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下

x	（-a，1-a）	1-a	（1-a，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	极大值	减

因此，f（x）在 x=1-a处取得最大值，故f（1-a）=a-1=0，所以a=1．…（3分）
（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1-ln2＞0，故k≤0不合题意；
当k＞0时，令g（x）=f（x）-kx²，
即g（x）=x-ln（x+1）-kx²，
求导函数可得g′（x）=

?x[2kx?(1?2k)]

x+1

，
g′（x）=0，可得x₁=0，x₂=

1?2k

2k

＞-1，
①当k≥

1

2

时，

1?2k

2k

≤0，
g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，
从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，
即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx²成立；
②当0＜k＜

1

2

时，

1?2k

2k

＞0，对于x∈（0，

1?2k

2k

），g′（x）＞0，
因此g（x）在（0，

1?2k

2k

）上单调递增，
因此取x₀∈（0，

1?2k

2k

），时，g（x₀）≥g（0）=0，即有f（x₀）≤kx₀²不成立；
综上知，k≥

1

2

时对任意的x∈[0，+∞），
有f（x）≤kx²成立，k的最大值为

1

2

．
（3）证明：当n=1时，不等式左边=2-ln3＜2=右边，所以不等式成立
当n≥2时，

n

i＝1

f(

2

2i?1

)=

n

i＝1

2

2i?1

-ln（2n+1）
在（2）中，取k=

1

2

，得f（x）≤

1

2

x²，
∴f（

2

2i?1

）=

2

(2i?1)2

＜

2

(2i?1)(2i?3)

（i≥2，i∈N*）
∴

n