二重积分求导问题

求详细过程，谢谢

2025-05-11 16:28:06

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回答（1）：

令G(u)是f(u)的一个原函数，G(u)=积分<0,u> f(s)ds，即G'(u)=f(u)
第一层积分=G(x^2)-G(-ln v)
F(x)=积分 G(x^2)-G(-ln v) dv
=积分 G(x^2) dv - 积分 G(-ln v) dv
=G(x^2) 积分 dv - 积分 G(-ln v) dv
=G(x^2)[1-e^(-x^2)] - 积分 G(-ln v) dv
然后两边求导
F'(x)=G'(x^2)*2x[1-e^(-x^2)]+G(x^2)*[-e^(-x^2)*(-2x)] - [-G(-ln(e^(-x^2)))]*[e^(-x^2)]'
=2xf(x^2)[1-e^(-x^2)]+[2xe^(-x^2)]G(x^2) -[2xe^(-x^2)]G(x^2)
=2xf(x^2)[1-e^(-x^2)]