58问答库 > 已知函数f（x）=lnx， g(x)=ax+ a-1 x +1 （a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．（1）是否存在实数a

已知函数f（x）=lnx， g(x)=ax+ a-1 x +1 （a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．（1）是否存在实数a

2025-05-22 10:14:45

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回答（1）：

（1）F（x）=f（x）-g（x）= lnx-ax-

a-1

-1
∵以F（x）图象上任意一点P（x₀ ，y₀ ）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，
∴ F′(x)=-

a x 2 -x+1-a

x 2

≤1 （x＞0）恒成立，
∴（a+1）x² -x-（a-1）≥0①在x＞0时恒成立．
当a≤-1时，①在x＞0时不恒成立
a＜-1时，△=4a² -3，设u（x）=（a+1）x² -x-（a-1），则

a+1＞0

△＜0

或

a+1＞0

△＞0

u(0)=1-a≥0

x=-

-1

2(a+1)

＜0

∴ -

＜a＜

；
（2） F′(x)=-

a x 2 -x+1-a

x 2

(x＞0)
令h（x）=ax² -x+1-a（x＞0）
当a=0时，h（x）=1-x，x∈（0，1）时，h′（x）＞0；x∈[1，+∞）时，h′（x）≤0
∴F（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是[1，+∞）；
当a≠0时，由F′（x）=0可得ax² -x+1-a=0
∴ x 1 =1， x 2 =

a-1

（i）当a=

时，x₁ =x₂ ，h（x）≥0，F′（x）≤0，函数在（0，+∞）上单调递减；
（ii）当0＜a＜

时，

-1＞1＞0 ，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，

-1 ）时，h（x）＜0，F′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（

-1 ，+∞）时，h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减，
∴函数的单调递减区间是（0，1），（

-1 ，+∞）；单调递增区间是（1，

-1 ）；
（iii）当a＜0时，

-1 ＜0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，F′（x）＞0，函数单调递增，
∴函数的单调递减区间是（0，1）；单调递增区间是（1，+∞）．