解：（1）结论：△OMN是等腰三角形（1分）
证明：如图1，取AB的中点H，连接HF，HE
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴HF∥AC，HF＝
AC（2分）1 2
∴∠FMC=∠HFE；
同理，HE∥BD，HE＝
BD，1 2
∴∠END=∠HEF；
又∵AC=BD，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠END=∠FMC，（3分）
∴△OMN是等腰三角形．
（2）正确画图（如图2）（4分）连接AC、BD，取AC、BD的中点H、G；
连接EG、GF、FH、EH；
∵E，F分别是AD、BC的中点，
∴EG=
AB，GF=1 2
CD，FH=1 2
AB，EH=1 2
CD，1 2
∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形．
∴∠GEF=∠HEF；
∵EG∥BM，
∴∠GEF=∠BMF，
∵HE∥CN，
∴∠CNF=∠HEF，
∴∠BMF=∠CNF．（5分）
（3）点M在以AD为直径的圆外（6分）
证明：如图3，由（2）的结论，∠M=∠FEC，
∵∠AEM=∠DEF，
∴∠M=∠DEF=45°，
∴∠MAD=90°
∴ME＞AE，
又∵E是AD中点，
∴点M在以AD为直径的圆外．（7分）
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