已知点P（x0，y0）是椭圆E：x24+y2=1任意一点，直线m的方程为x0x4+y0y=1．（1）判断直线m与椭圆E交点的个

2025-05-20 02:12:57

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回答（1）：

（1）直线m的方程与椭圆E：

+y²=1联立，消去y，并整理得（y₀²+

x02

）x²-2x₀x+4-4y₀²=0
∵点P（x₀，y₀）是椭圆E：

+y²=1任意一点，
∴x²-2x₀x+x₀²=0，
∴△=4x₀²-4x₀²=0，
故直线m与椭圆E只有一个交点；
（2）设l：y=k（x-2）+3，与椭圆E：

+y²=1联立，消去y，
并整理得（1+4k²）x²+8k（3-2k）x+4（4k²-12k+8）=0
△=64（3k-2）＞0，可得k＞

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则过P，Q的椭圆的切线方程分别为

x1x

+y₁y=1①，

x2x

+y₂y=1②
①×x₂-②×x₁，结合y₁=k（x₁-2）+3，y₂=k（x₂-2）+3，得y=

3?2k

（k≠

），
同理x=

?4k

3?2k

（k≠

），
|PQ|=

64(3k?2)(1+k2)

1+4k2

，O到PQ的距离d₁=

|3?2k|

1+k2

，M到PQ的距离d₂=

4|3k?2|

|3?2k|