58问答库 > 已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且满足4Sn=（an+1）2（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设

已知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，且满足4Sn=（an+1）2（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设

2025-03-20 20:07:42

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回答（1）：

（本小题满分13分）
（Ⅰ）∵4Sn＝(an+1)2当n≥2时，4Sn?1＝(an?1+1)2
两式相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
又a_n＞0故a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以2为公差的等差数列
又a₁=1，
∴a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）∵bn+1＝abn＝2bn?1，
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
又b₁-1=2≠0，∴{b_n-1}是以2为公比的等比数列，
∴bn?1＝2n，
∴bn＝2n+1，
故cn＝anbn＝(2n?1)2n+(2n?1)
记An＝1×2+3×22+…+(2n?1)2n，①
2A_n=1×2²+3×2³+…+（2n-1）?2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-A_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）?2ⁿ⁺¹
=

2(1?2n)

1?2

?(2n?1)?2n+1，
由错位相减得：
An＝(2n?3)2n+1+6，
∴Tn＝(2n?3)2n+1+n2+6．（13分）