已知正项数列{an}的前n项和为Sn，Sn是14与（an+1）2的等比中项．（1）求a1，a2，a3；（2）求证：数列{an}

2025-05-13 07:09:49

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回答（1）：

（1）解：（

）²=

(an+1)2，
即S_n=

(an+1)2，
当n=1时，a1＝

(a1+1)2，a₁＞0，
解得a₁=1．
∴S2＝1+a2＝

(a2+1)2，a₂＞0，
解得a₂=3，
S3＝4+a3＝

(a3+1)2，a₃＞0，
解得a₃=5．
（2）证明：由（1）得Sn＝

(an+1)2，
当n≥2时，S_n-1=

(an?1+1)2，
∴a_n=S_n-S_n-1=

(an2?an?12+2an?2an?1)，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列．
（3）解：由（2）得a_n=2n-1，∴a_n≥m，即为2n-1≥m，
∴n≥

m+1

．
①m为奇数，则nmin＝

m+1

，∴S2m＝

2m2+3m

．
②m为偶数，则n_min=

m+2

，∴S2m＝

2m2+5m

．
综上所述，S_2m=