考研高等数学 ，这道题最后答案怎么算出来的

这个是超越积分，一般就是直接作为定理。下面写一个∫(-∞→∞) e^(-x²) dx的算法。
(以下设的未知数跟你题目中未知数没关联。)
解：积分域为 x ∈(-∞，+∞)
令： F = (-∞，+∞)∫e^(-2x²)dx
同样 F= (-∞，+∞)∫e^(-2y²)dy
由于x,y是互不相关的的积分变量，因此：
F² = (-∞，+∞)∫e^(-2x²)dx * (-∞，+∞)∫e^(-2y²)dy
= [D]∫∫e^(-2x²)*dx * e^(-2y²)*dy
= [D]∫∫e^[-2(x²+y²)]*dx *dy
式中积分域D = {(x,y)|x ∈(-∞，+∞),y∈(-∞，+∞)}
对x，y进行极坐标变换，则:
x²+y² = ρ²；dxdy = ρ*dρ*dθ
F² = [D]∫∫e^[-2(x²+y²)]*dx *dy
= [0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-2ρ²) ρ*dρ*dθ
= [0,2π]∫dθ *(0,+∞)∫e^(-2ρ²) ρ*dρ
= 2π* 1/4*[0,+∞)*∫e^(-2ρ²) *d(2ρ²)
= π/2
因此 F = (-∞，+∞)∫e^(-2x²)dx = √(π/2) = (-∞，+∞)∫e^(-2y²)dy
所以答案为(-1/2)√(π/2) + (-1/2)√(π/2)=-√(π/2)