f′(x)＝
?1 x
＝x?(x?a) x2
（x＞0），x?a x2
（1）因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，
所以f'（1）=-1，即1-a=-1解得a=2；
当a=2时，f(x)＝lnx?
，f′(x)＝x?2 x
．x?2 x2
令f′(x)＝
＜0，解得0＜x＜2，x?2 x2
所以函数的递减区间为（0，2）；
（2）①当0＜a≤1时，f'（x）＞0在（1，3）上恒成立，
这时f（x）在[1，3]上为增函数
则f（x）min=f（1）=a-1
令 a?1＝
，得a＝1 3
＞1（舍去），4 3
②当1＜a＜3时，由f'（x）=0得，x=a∈（1，3）
由于对于x∈（1，a）有f'（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，
对于x∈（a，3）有f'（x）＞0，f（x）在[a，3]上为增函数，
则f（x）min=f（a）=lna，
令lna＝
，得a＝e1 3
，1 3
③当a≥3时，f'（x）＜0在（1，3）上恒成立，这时f（x）在[1，3]上为减函数，
故f′(x)min＝f(3)＝ln3+
?1．a 3
令ln3+
?1＝a 3
得 a=4-3ln3＜2（舍去）1 3
综上，a＝e
．1 3
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