58问答库 > 在三棱锥S-ABC中，sa⊥底面ABC,∠ABC=90°，且SA=AB,点M是SB的中点，AN⊥SC且交SC于点N.

在三棱锥S-ABC中，sa⊥底面ABC,∠ABC=90°，且SA=AB,点M是SB的中点，AN⊥SC且交SC于点N.

求证：SC⊥平面AMN;当AB=BC=1时，求三棱锥M-SAN的体积.

2025-05-21 08:56:00

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回答（1）：

证明：∵SA=SB且M为SB中点 ∴AM⊥SB
∵SA⊥底面ABC ∴SA⊥BC
∵∠ABC=90°∴BC⊥AB ∴BC⊥平面SAB ∴ AM⊥BC
∵AM⊥SB ∴AM⊥平面SBC ∴AM⊥SC
∵AN⊥SC ∴SC⊥平面AMN

当AB=BC=1时，求三棱锥M-SAN的体积
由AB=BC=1可得 AC=√2， SC=√3，则AN=√6/3，AM=√2/2 ，SN=√3/2
∵AM⊥平面SBC(上面证出来的)∴AM⊥MN ∴MN=√6/6 AMN的面积=√3/12
∵SC⊥平面AMN ∴SN⊥平面AMN ∴M-SAN的体积=1/3*AMN的面积*SN=1/3*√3/12*√3/2=1/24
（注：计算不一定对，但是思路是对的）