已知函数f（x）=lnx－kx设函数有两个零点

2025-05-12 23:20:43

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回答（1）：

f(x)=lnx-kx
定义域x>0
f'(x)=1/x-k
当k≤0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，区间x∈(0,+∞)
当k>0时，存在驻点x=1/k
当00,f(x)单调递增，区间x∈(0,1/k)
当 x>1/k时，f'(x)<0,f(x)单调递减，区间x∈(1/k,+∞)
(2)lim(x→0)f(x)=-∞
k≤0时，lim(x→+∞)f(x)=+∞
∴必有零点
k>0时，f(x)最大值f(1/k)≥0时，f(x)有零点，否则f(x)<0,无零点。
f(1/k)=ln(1/k)-1≥0
∴1/k≥e
k≤1/e
∴k的取值范围是k≤1/e
(3)f(x)有两个零点，0零点lnx₁-kx₁=0
lnx₂-kx₂=0
ln(x₁x₂)=k(x₁+x₂)
x₁x₂=e^k(x₁+x₂)
∵x₁、x₂均>0
∴x₁+x₂≥2√x₁x₂
最小值在x₁=x₂时取得，此时x₁→1/k- x₂→1/k+
∴x₁x₂=e^k(x₁+x₂)>e^k(2/k)=e²
∴m<2

回答（2）：

要用导数的
参考http://www.docin.com/p-1159291235.html 第四题

回答（3）：