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已知过点A（0，1）的直线l，斜率为k，与圆C：（x-2） 2 +（y-3） 2 =1相交于M、N两个不同点．（1）求实数
已知过点A（0，1）的直线l，斜率为k，与圆C：（x-2） 2 +（y-3） 2 =1相交于M、N两个不同点．（1）求实数
2025-05-17 03:17:02
推荐回答（1个）
回答（1）：
（1）由题意，设直线l方程为y=kx+1，
与圆C的方程消去y，得（1+k
2
）x
2
-4（1+k）x+7=0…（*）
∵直线l与圆C相交于M、N两个不同点．
∴△=16（1+k）
2
-28（1+k
2
）＞0，解此不等式得
4-
7
3
＜k＜
4+
7
3
…（6分）
（2）设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），
根据（1）的（*），得x
1
+x
2
=
4+4k
1+
k
2
，x
1
x
2
=
7
1+
k
2
∵
OM
?
ON
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=（1+k
2
）x
1
x
2
+k（x
1
+x
2
）+1
∴
OM
?
ON
=12
即（1+k
2
）x
1
x
2
+k（x
1
+x
2
）+1=
4k(k+1)
1+
k
2
+8=12
解之得k=1，符合
4-
7
3
＜k＜
4+
7
3
，得k的值为1． …（12分）
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