58问答库 > 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+an．（1）求证：{an}为等差数列，并求数列{an}

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=an2+an．（1）求证：{an}为等差数列，并求数列{an}

2025-03-29 08:30:38

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回答（1）：

（1）由2S_n=a_n²+a_n．①
得2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．②
①-②，得：2a_n=an2+an?an?12?an?1，
∴an+an?1＝an2?an?12，
∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是公差为1的等差数列，
由2S1＝a12+a1，得a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）b_n=2^a_nlog

2^a_n=-n?2ⁿ，
∴H_n=-（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ），
∴2H_n=-（2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹），
∴H_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1?2n)

1?2

?n×2n?1
=-n?2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-2，
∵H_n+n?2ⁿ⁺¹＞50，
∴2ⁿ⁺¹＞52，
∴n的最小值为5．