大学高等代数矩阵证明题 （合同标准型）

T^{-1}=T'就是正交阵的定义，没什么好说的。
仅仅从T'AT=diag(d1,d2,...,dn)不可能推出T正交。存在正交阵满足这个分解是由谱分解定理来保证的。

整个问题你只要知道A的特征值和惯性指数的关系就行了。

补充：
任取A的一个特征向量并张成Hermite阵Q，作用到A上之后
Q'AQ=
d1 0
0 A22
再归纳就得到谱分解。

(1)和(2)等价，(1),(2),(3)都是谱分解的直接推论，没有任何难度。

T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个是相似标准型

利用“实对称矩阵A是正定阵的充要条件是A的所有特征值大于0”即可完成所有证明。
因A是实对称阵，所以A的所有特征值是实数，可设A的最小特征值是a, 最大特征值是b。

问题1中，取t>-a即可。

问题2中，
若A特征值全大于或等于0，则t可取任意正数；
若A特征值全小于0，则t可取任意负数；
若A特征值有正有负，则取-1/b
问题3中，
若A可逆，则A逆的特征值与A的特征值恰好互为倒数，即若A的特征值是a1,a2,...,an，则A逆的所有特征值一定是1/a1, 1/a2, ..., 1/an。显然他们的符号完全相同。我们知道A的正惯性指数由A的正特征值个数决定，负惯性指数由A的负特征值个数决定。因此，A与A逆有相同的正、负惯性指数。
当A正定时，A的特征值全正，因此A逆的特征值全正，故A逆也正定。同理当A逆正定时，A逆的特征值全正，因此A的特征值全正，故A也正定。
（注：此结论也可以用A正定的充要条件是A的正惯性指数是n来证。证略）