一个不等式的证明题

提供三种方法参考：
方法一．令f(x)=lnx，易知f(x)在(0,+∞)内具有二阶导数
将f(x)在x=x₀处按拉格朗日余项泰勒公式展开至n=1
f(x)=f(x₀)+f’(x₀)*(x- x₀)+f’’(ξ)/2!*(x- x₀)²
取x₀=(a+b)/2，并分别以x=b与x=a代入，得
lnb=ln[(a+b)/2]+2/(a+b)*(b-a)/2 +f’’(ξ₁)/2!*[ (b-a)/2]² ξ₁∈((a+b)/2,b) ①
lna=ln[(a+b)/2]+2/(a+b)*(a-b)/2 +f’’(ξ₂)/2!*[ (a-b)/2]² ξ₂∈(a,(a+b)/2) ②
①-②得
lnb-lna=2*(b-a)/(a+b)+[ f’’(ξ₁)-f’’(ξ₂)]/2*[ (b-a)/2]²
∵f’’(x)=-1/x²，则f’’(x)在(0,+∞)上单调递增
且ξ₁>(a+b)/2>ξ₂，∴f’’(ξ₁)>f’’(ξ₂)
因此lnb-lna>2*(b-a)/(a+b)

方法二．由b>a>0，将原不等式转化为ln(b/a)>2*(b/a-1)/(b/a+1)
令t=b/a，则t>1
只需证当t>1时，lnt>2*(t-1)/(t+1) 　③
如果知道幂级数展开式：
ln[(1+x)/(1-x)]=2*[x+x³/3+x⁵/5+...+x^(2*n+1)/(2*n+1)+...], |x|<1
上式利用ln(1+x)=∑{n=0,∞}(-1)^n*x^(n+1)/(n+1)容易证明
下面令t=(1+x)/(1-x)，则x=(t-1)/(t+1)，∵t>1，∴0lnt=ln[(1+x)/(1-x)]
=2*[x+x³/3+x⁵/5+...+x^(2*n+1)/(2*n+1)+... ]
>2*x
=2*(t-1)/(t+1)
即③式成立

方法三．根据③式，令F(t)=(t+1)lnt-2*(t-1)，F(1)=0
F’(t)=lnt+1/t-1，F’(1)=0
F’’(t)=(t-1)/t²>0，F’(t)在(1,+∞)上单调递增，F’(t)>F’(1)=0
F(t)在(1,+∞)上单调递增，F(t)>F(1)=0
则(t+1)lnt-2*(t-1)>0
即③式成立