求证函数f(x)=x^2+1⼀x^2在区间(0,1]上是减函数,并求最大值

设0根据条件可知：x1+x2>0,x1-x2<0,x1x2>0,那么0<(x1x2)^2<1,由此1/(x1x2)^2>1,所以1-1/(x1x2)^2<0
可得f（x1）-f（x2）>0,即f（x1）>f（x2），所以函数f(x)=x^2+[1/（x^2)]在区间(0,1]上是减函数
因为是减函数，所以当定义域最小时函数可以得到最大值，但是当x→0时，函数值→∞，所以不存在最大值。不过存在最小值是当x=1时，y=2

设x1、x2∈(0，1]，且x1f(x1)- f(x2)
=(x1²+1/x1²)-(x2²+1/x2²)
=(x1²-x2²)+(1/x1²-1/x2²)
=(x1²-x2²)+(x2²-x1²)/(x1²x2²)
=(x1²-x2²)*[1-1/(x1²x2²)]
=(x1²-x2²)*(x1²x2²-1)/(x1²x2²)
=(x1-x2)(x1+x2)(x1x2-1)(x1x2+1)/(x1²x2²)
因为x1、x2∈(0，1]，所以x1x2<1，所以：
x1-x2<0
x1+x2>0
x1x2-1<0
x1x2+1>0
所以(x1-x2)(x1+x2)(x1x2-1)(x1x2+1)/(x1²x2²)>0，即
f(x1)- f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)
所以f(x)=x²+1/x²在区间(0，1]上是减函数。

第二问有误，哪有最大值？是不是求最小值？你自己核对吧。