设g(x)=f(x)-x∵f(x)在[0,1]区间上连续，∴g(x)在[0,1]区间上也连续。∵0≤f(x)≤1，∴存在x1∈[0,1]，使得f(x1)=0；存在x2∈[0,1]，使得f(x2)=1；则：g(x1)=f(x1)-x1=0-x1=-x1≤0，g(x2)=f(x2)-x2=1-x2=≥0，根据介值定理，存在c∈[x1,x2]，使得g(c)=f(c)-c=0，即f(c)=c，得证。
