合同矩阵的定义是什么?

合同矩阵：设A，B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得  

则称方阵A与B合同，记作A≃B。  

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。

两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。  

扩展资料：

合同矩阵的性质：

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：  

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；  

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；  

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；  

4、合同矩阵的秩相同。  

矩阵合同的主要判别法：  

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.  

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

参考资料来源：百度百科-合同矩阵

合同矩阵：两个实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵P，使得

，就称矩阵A和B互为合同矩阵，并且称由A到B的变换叫合同变换。

在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个实对称矩阵A和B是合同的，当且仅当

存在一个可逆矩阵P，使得

对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

1855 年，埃米特(C.Hermite,1822-1901) 证明了其他数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来 ，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber) 引入矩阵的迹的概念并得出了一些有关的结论。

在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。

1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。

A和B合同当且仅当存在可逆的P 使得A=P的转置*B*P