58问答库 > 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=an3n（x∈R）．

已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=an3n（x∈R）．

2025-05-12 22:00:41

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回答（1）：

（Ⅰ）设数列{a_n}公差为d，则 a₁+a₂+a₃=3a₁+3d=12，又a₁=2，d=2．所以a_n=2n．
（Ⅱ）由b_n=a_n3ⁿ=2n3ⁿ，得
S_n=2?3+4?3²+…（2n-2）3^n-1+2n?3ⁿ，①
3S_n=2?3²+4?3³+…+（2n-2）?3ⁿ+2n?3ⁿ⁺¹．②
将①式减去②式，得
-2S_n=2（3+3²+…+3ⁿ）-2n?3ⁿ⁺¹=-3（3ⁿ-1）-2n?3ⁿ⁺¹．
所以Sn＝

3(1?3n)

+n?3n+1．