证明题：设f(x)在[0,1]上具有连续导数,且f(0)=0.证明:存在ξ∈[0,1]使∫(0,1)f(x)dx=1⼀2f′(ξ)

令 F(x) = f(x) - x,    F(0) > 0, F(1) < 0,   F(x)在[0,1]上可导=>连续。

故至少在(0,1)内有一点ξ，使得 F(ξ) = 0,  即 f(ξ) = ξ。

下面用反证法证明 ξ 只有一个。

假设存在ξ1，ξ2∈(0,1) ,  F(ξ1) =0, 且 F(ξ2) = 0。

由罗尔中值定理，必存在 η ∈(ξ1，ξ2),  F '(η) = f '(η) - 1 = 0  

=>  f '(η) = 1  这与 f(x)的导数不为1 矛盾，假设错误。

因此在(0,1)内有唯一点，使得 f(ξ) = ξ。

导数发展

17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数。

牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程；在于自变量的变化与函数的变化的比的构成。

令
F(x)
=
f(x)
-
x,
F(0)
>
0,
F(1)
<
0,
F(x)在[0,1]上可导=>连续，
故至少在(0,1)内有一点ξ，使得
F(ξ)
=
0,
即
f(ξ)
=
ξ.
下面用反证法证明
ξ
只有一个。
假设存在ξ1，ξ2∈(0,1)
,
F(ξ1)
=0,
且
F(ξ2)
=
0.
由罗尔中值定理，必存在
η
∈(ξ1，ξ2),
F
'(η)
=
f
'(η)
-
1
=
0
=>
f
'(η)
=
1
这与
f(x)的导数不为1
矛盾，假设错误。
因此在(0,1)内有唯一点，使得
f(ξ)
=
ξ.