首先这两题的区别在于 一个是有原函数和二阶导数的有界确定一阶导数的性质，另一题是有原函数和三阶导数确定二阶导数的性质。对于第二题的方法如果用在第一题上 那么还有一个一阶导数需要额外考虑，所以直接证明是行不通的。其次第一题分区间的原因在于对于拉格朗日定理的深刻理解。一定是在有限的区间里成立，对应的ξ也是在有限区间里的，所以要分区间来讨论，而在无限区间里讨论运用两个泰勒展开消去一阶导数项也要分区间。所以总的来说第一题要难一些。PS：楼主可以进一步考虑只要原函数和n阶倒数在有限或无线区间里有界，那么所以1到n-1阶倒数在此区间也是有界的。
只有x>1时，x+1与x-1才都在(0,正无穷)区间内，才能用有界的条件，使用二者相加的方法
因此要分区间讨论，当x>1时，可以使用Taylor展开
而当0
好在区间有限且函数值有界，因此可用Lagrange中值
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