x,y是实数，且1≤x平方+y平方≤2，z=x平方+xy+y平方，求z范围

2025-05-23 15:57:51

推荐回答（3个）

回答（1）：

用三角换元
设x=r*cos[t],y=r*sin[t],那么由题意,1<=r<=2;
代入得z=r平方(1+0.5sin[2t]).
由r的有界性和三角函数的有界性得
当t=-45度,r=1的时候z取得最小值,z[min]=0.5;
当t=45度,r=2的时候z取得最大值,z[max]=3.

回答（2）：

【解】设x=msinω,y=mcosω(1≤m^2≤2,0≤ω≤π)

所以z=m^2+m^2×sinωcosω
=m^2(1+sin2ω/2)

因为-1≤sin2ω≤1,1≤m^2≤2

所以z的范围:
[1/2,3]

回答（3）：

z的上限是小于等于3
即z=x平方+xy+y平方≤x平方+y平方+(x平方+y平方)/2
=3(x平方+y平方)/2
≤2*(3/2)=3