58问答库 > 对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]?D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对

对定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]?D和常数C，使得对任意的x∈[a，b]都有f（x）=C，且对

2025-05-22 04:08:35

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回答（1）：

（1）当x∈[1，3]时，f₁（x）=x-1+3-x=2，
当x?[1，3]时，f₁（x）=|x-1|+|x-3|＞|x-1+3-x|=2
故存在闭区间[a，b]=[1，3]?R和常数C=2符合条件，…（4分）
所以函数f₁（x）=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函数…（5分）
（2）因为不等式|t-1|+|t-2|≤f（x）对一切x∈R恒成立，
所以|t-1|+|t-2|≤f（x）_min…（7分）
由（1）可知f（x）_min=（|x-1|+|x-3|）_min=2…（8分）
所以|t-1|+|t-2|≤2…（9分）
解得：

≤t≤

…（11分）
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间[a，b]?[-2，+∞）和常数c，使得对任意的x∈[a，b]，
都有g（x）=mx+

x2+2x+n

=c，即

x2+2x+n

=c-mx
所以x²+2x+n=（c-mx）²恒成立，即x²+2x+n=m²x²-2cmx+c²对任意的x∈[a，b]成立…（13分）
所以

m2=1

-2cm=2

c2=n

，所以

m=1

c=-1

n=1

或

m=-1

c=1

n=1

…（14分）
①当